Γιατί ένας μαθηματικός σκέφτηκε ότι αυτή η άπειρη σειρά εξήγησε πώς ο Θεός δημιούργησε το σύμπαν
Εδώ είναι ένα μαθηματικό πρόβλημα που μπορούν να λύσουν όλοι: τι είναι ένα μείον ένα; Μηδέν. Μέχρι εδώ καλά. Αν στη συνέχεια προσθέσουμε ένα 1, το άθροισμα αυξάνεται, αλλά αν αφαιρέσουμε ακόμη ένα, είμαστε πίσω στο μηδέν. Ας πούμε, συνεχίζουμε να κάνουμε αυτό για πάντα:
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
Ποιο είναι το άθροισμα που προκύπτει; Η ερώτηση φαίνεται απλή, ακόμη και ανόητη, αλλά μπέρδεψε μερικούς από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του 18ου αιώνα . Τα παράδοξα περιβάλλουν το πρόβλημα επειδή πολλά φαινομενικά ορθά επιχειρήματα σχετικά με το άθροισμα καταλήγουν σε ριζικά διαφορετικά συμπεράσματα. Ο πρώτος που το ερεύνησε σε βάθος σκέφτηκε ότι εξηγούσε πώς ο Θεός δημιούργησε το σύμπαν. Η ανάλυσή του με σύγχρονους όρους δείχνει ότι τα μαθηματικά είναι μια πιο ανθρώπινη επιχείρηση από ό,τι μερικές φορές εκτιμάται.
Μαντέψτε τι πιστεύετε ότι ισούται με το άπειρο άθροισμα. Θα σου δώσω πολλαπλές επιλογές:
Α. 0
Β. 1
Γ. ½
Δ. Δεν ισούται με τίποτα
Το όρισμα για το 0 προκύπτει φυσικά συμπεριλαμβάνοντας υποδηλωτικές παρενθέσεις:
(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + …
Θυμηθείτε ότι στα μαθηματικά η σειρά των πράξεων υπαγορεύει να αξιολογήσουμε αυτές που βρίσκονται μέσα σε παρένθεση πριν αξιολογήσουμε αυτές που βρίσκονται εκτός. Κάθε (1 – 1) ακυρώνεται στο 0, άρα τα παραπάνω καταλήγουν σε 0 + 0 + 0 + …, που σαφώς δεν ισοδυναμεί με τίποτα.
Ωστόσο, μια μικρή μετατόπιση των αγκύλων αποφέρει διαφορετικό αποτέλεσμα. Αντί να συνδυάσουμε τους δύο πρώτους όρους και τους επόμενους δύο όρους και ούτω καθεξής, αν αφήσουμε στην άκρη τον πρώτο 1, τότε ο δεύτερος και ο τρίτος όρος ακυρώνουν επίσης και ο τέταρτος και ο πέμπτος ακυρώνουν:
1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + …
Και πάλι, όλες οι παρενθετικές αθροίσεις είναι 0, αλλά έχουμε αυτό το επιπλέον θετικό 1 στην αρχή, το οποίο υποδηλώνει ότι ολόκληρη η έκφραση αθροίζεται σε 1.
Ο Ιταλός μοναχός και μαθηματικός Luigi Guido Grandi ερεύνησε για πρώτη φορά τη σειρά (το άθροισμα των άπειρων αριθμών) το 1703. Ο Grandi, του οποίου πήρε το όνομά του αυτή η συγκεκριμένη σειρά, παρατήρησε ότι απλώς μετακινώντας τις παρενθέσεις μπορούσε να κάνει το άθροισμα της σειράς σε 0 ή 1 Σύμφωνα με τον ιστορικό των μαθηματικών Giorgio Bagni, αυτή η αριθμητική ασυνέπεια είχε θεολογική σημασία για τον Grandi, ο οποίος πίστευε ότι έδειχνε ότι η δημιουργία από το τίποτα ήταν «απόλυτα εύλογη».
Η σειρά που αθροίζεται τόσο στο 0 όσο και στο 1 φαίνεται παράδοξη, αλλά σίγουρα η επιλογή Γ (½) δεν είναι λιγότερο ανησυχητική. Πώς θα μπορούσε ένα άθροισμα άπειρων ακεραίων να δώσει ποτέ ένα κλάσμα; Ωστόσο, τελικά ο Grandi και πολλοί εξέχοντες μαθηματικοί του 18ου αιώνα μετά από αυτόν σκέφτηκαν ότι η απάντηση ήταν ½. Ο Grandi υποστήριξε γι’ αυτό με μια παραβολή: φανταστείτε ότι δύο αδέρφια κληρονομούν ένα μόνο στολίδι από τον πατέρα τους και ο καθένας το φυλάσσει στο δικό του μουσείο για εναλλάξ χρόνια. Αν συνεχιζόταν αυτή η παράδοση της παράδοσης του πολύτιμου λίθου πέρα δώθε με τους απογόνους τους, τότε οι δύο οικογένειες θα είχαν η καθεμία ½ ιδιοκτησία πάνω στο πετράδι.
Όπως δείχνουν οι αποδείξεις, δεν θα συνιστούσα να βάλετε την ιστορία του πολύτιμου λίθου στο επόμενο τεστ μαθηματικών σας. Ο διάσημος μαθηματικός Gottfried Wilhelm Leibniz συμφώνησε με το συμπέρασμα του Grandi, αλλά προσπάθησε να το υποστηρίξει πιο άμεσα με πιθανολογικό συλλογισμό. Ο Leibniz υποστήριξε ότι αν σταματήσετε να αθροίζετε τις σειρές σε ένα τυχαίο σημείο, τότε το άθροισμά σας μέχρι αυτό το σημείο θα είναι είτε 0 είτε 1 με ίση πιθανότητα, επομένως είναι λογικό να βάλετε τον μέσο όρο τους στο ½. Ο Leibniz θεώρησε ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό, αλλά αναγνώρισε ότι το επιχείρημά του ήταν περισσότερο «μεταφυσικό παρά μαθηματικό». Ο Leonhard Euler χρησιμοποίησε πιο περίπλοκες μεθόδους για να υποστηρίξει το ½ και απευθύνθηκε σε όσους διαφωνούσαν σε μια μάλλον αμυντική παράγραφο στην εργασία του De Seriebus divergentibus του 1760 (μετάφραση: On Divergent Series ), στην οποία ισχυρίστηκε ότι «δεν υπάρχει αμφιβολία ότι στην πραγματικότητα η σειρά 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + κ.λπ. και το κλάσμα 1/2 είναι ισοδύναμες ποσότητες και ότι επιτρέπεται πάντα η αντικατάσταση του ενός με το άλλο χωρίς σφάλμα.» Έτσι, πολλοί έξυπνοι άνθρωποι ένιωσαν έντονα υπέρ της επιλογής Γ.
Άπειρες σειρές σαν αυτή έχουν μπερδέψει τους στοχαστές που χρονολογούνται τουλάχιστον από τους αρχαίους Έλληνες με τα παράδοξα κίνησης του Ζήνωνα της Ελέας . Σε ένα διάσημο παράδειγμα, ο Ζήνων παρατήρησε ότι για να περπατήσει κανείς ένα μονοπάτι, πρέπει πρώτα να διανύσει το μισό του, μετά πρέπει να διανύσει το μισό της υπόλοιπης απόστασης (¼ του συνολικού μονοπατιού) και μετά το μισό της απομένουσας απόστασης (⅛) και έτσι επί. Κάποιος μπορεί να συνεχίσει να υποδιαιρεί για πάντα, κάτι που υποδηλώνει ότι κάθε φορά που περπατάμε σε ένα μονοπάτι ολοκληρώνουμε έναν άπειρο αριθμό ενεργειών σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα – ένα παράδοξο.
Ενώ οι φιλόσοφοι εξακολουθούν να συζητούν τη μεταφυσική των παραδόξων του Ζήνωνα περίπου 2.400 χρόνια αργότερα, οι μαθηματικοί έκαναν ένα ουσιαστικό άλμα προς την επίλυσή τους και το μυστήριο της σειράς του Grandi στα τέλη του 19ου αιώνα. Από τα θεμέλια του λογισμού προέκυψαν διευκρινιστικοί ορισμοί σχετικά με το πότε οι άπειρες σειρές αθροίζονται σε πεπερασμένες τιμές. Η εύρεση της απάντησης ξεκινά με την εξέταση μερικών αθροισμάτων —προσθέστε τους δύο πρώτους όρους, μετά τους τρεις πρώτους, μετά τους τέσσερις πρώτους και ούτω καθεξής. Εάν αυτά τα ενδιάμεσα αθροίσματα συνεχίσουν να πλησιάζουν όλο και περισσότερο σε μια σταθερή τιμή, τότε λέμε ότι η σειρά «συγκλίνει» σε αυτήν την τιμή. Ας το εφαρμόσουμε στη σειρά στο παράδοξο του Ζήνωνα, που αθροίζει το μισό μονοπάτι συν ένα τέταρτο μιας διαδρομής συν ένα όγδοο μιας διαδρομής, και ούτω καθεξής
½ + ¼ + ⅛ + 1/16 +…
Οι δύο πρώτοι όροι αθροίζονται σε 0,75, οι τρεις πρώτοι όροι αθροίζονται σε 0,875 και οι τέσσερις πρώτοι όροι αθροίζονται σε 0,9375. Αν αθροίζαμε τους πρώτους 10 όρους, θα παίρναμε 0,9990234375. Τα επιμέρους αθροίσματα πλησιάζουν όλο και περισσότερο στο 1, οπότε η σειρά συγκλίνει στο 1. Αν και μπορούμε να συλλάβουμε μια διαδρομή ως άπειρο αριθμό αποστάσεων, ο λογισμός επιβεβαιώνει ότι τελικά εξακολουθεί να αντιστοιχεί σε ένα μονοπάτι.
Τα επιμέρους αθροίσματα της σειράς του Grandi κυμαίνονται μεταξύ 0 και 1 χωρίς ποτέ να εισέρχονται σε μία μόνο τιμή. Έτσι, οι σύγχρονοι μαθηματικοί θα επέλεγαν την επιλογή Δ (η σειρά του Grandi δεν αθροίζεται σε τίποτα).
Η επίλυση της σειράς του Grandi εγείρει ένα κοινωνιολογικό ερώτημα. Γιατί η μαθηματική κοινότητα αποδέχεται την προσέγγιση των μερικών αθροισμάτων αλλά όχι το πιθανολογικό επιχείρημα του Leibniz ή κάποιον άλλο ορισμό της άθροισης μιας άπειρης σειράς; Αν και μπορεί να μοιάζουν και να μυρίζουν όμοια, το άθροισμα μιας άπειρης σειράς δεν είναι το ίδιο με την πρόσθεση. Για ένα ξεκάθαρο παράδειγμα, η πρόσθεση δεν αλλάζει όταν αλλάζετε παρενθέσεις, π.χ. 1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3, αλλά πολλές σειρές, συμπεριλαμβανομένης της Grandi’s do. Για ευκολία, οι μαθηματικοί δανείζονται λέξεις όπως “άθροισμα” και “ίσον” από την προσθήκη για να συζητήσουν σειρές, αλλά κάτω από την κουκούλα αυτό που πραγματικά εννοούν όταν λένε ότι η σειρά του Ζήνωνα “αθροίζει σε 1” ή “ισούται με 1”, είναι ότι τα επιμέρους αθροίσματα συγκλίνουν στο 1, ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο.
Ο μερικός αθροιστικός ορισμός της σύγκλισης είναι ακριβώς αυτός: ένας ορισμός που επιλέγεται από τους ανθρώπους. Αυτό δεν το κάνει αυθαίρετο. Η κοινότητα των μαθηματικών προτιμά τον ορισμό από τις εναλλακτικές για καλούς λόγους. Μετριάζει πολλά από τα παράδοξα που ταλανίζουν παλαιότεροι μαθηματικοί που μελετούσαν άπειρα αθροίσματα, και διατηρεί πολλές από τις ωραίες ιδιότητες που απολαμβάνει η πεπερασμένη πρόσθεση. Αλλά και άλλοι ορισμοί της σύγκλισης έχουν βρει εφαρμογές. Για παράδειγμα, αντί να ρωτά ποιον αριθμό προσεγγίζει τα επιμέρους αθροίσματα, η μέθοδος άθροισης Cesàro παίρνει τον μέσο όρο των δύο πρώτων μερικών αθροισμάτων, μετά τα τρία πρώτα μερικά αθροίσματα και μετά τα πρώτα τέσσερα μερικά αθροίσματα και ούτω καθεξής για πάντα, και ρωτά τι προσεγγίζουν αυτούς τους μέσους όρους . Εάν εφαρμόσετε αυτήν την προσαρμοσμένη μέθοδο σε μια συγκλίνουσα σειρά όπως αυτή του Zeno, θα σας δίνει πάντα την ίδια απάντηση. Ωστόσο, μερικές φορές θα δώσει διαφορετική απάντηση όταν εφαρμόζεται σε σειρές που δεν συγκλίνουν σύμφωνα με τον τυπικό ορισμό. Συγκεκριμένα, η σειρά του Grandi έχει άθροισμα Cesàro ½.
Πολλές άλλες μέθοδοι άθροισης εμφανίζονται στη μαθηματική βιβλιογραφία. Ακόμα κι αν μερικές φορές δίνουν διαφορετικά αποτελέσματα στην ίδια σειρά, αυτό δεν αποτελεί αντίφαση εάν οι άνθρωποι κοινοποιούν ξεκάθαρα τον ορισμό που χρησιμοποίησαν. Στην πραγματικότητα, δεν μπορούμε να προσθέσουμε φυσικά έναν άπειρο αριθμό πραγμάτων, επομένως οι μέθοδοι άθροισης παρέχουν απλώς βασικούς τρόπους εκχώρησης τιμών σε άπειρες σειρές. Ο ορισμός του μερικού αθροίσματος έχει την άξια κατάσταση ως προεπιλογή, αλλά περιστασιακά βοηθά να υπάρχουν άλλες επιλογές όταν αντιμετωπίζουμε σειρές που δεν συγκλίνουν στην προβολή μερικού αθροίσματος.
Περιέργως, η σειρά του Grandi ανέρχεται στο ½ στις περισσότερες εναλλακτικές μεθόδους. Έτσι, μια καθομιλουμένη απάντηση στην αρχική μας ερώτηση μπορεί να είναι: Η σειρά του Grandi δεν αθροίζεται σε τίποτα, αλλά αν το έκανε θα άθροιζε ½.
Απάντηση