Ένας κουρέας ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Ξυρίζεται μόνος του; Τα μαθηματικά προσφέρουν εξηγήσεις για αυτήν και άλλες περίεργες αντιφάσεις
Μερικές φορές τα ένστικτά σου σε παρασύρουν—ιδιαίτερα στα μαθηματικά, στα οποία κάποιος συνεχώς συναντά αποτελέσματα που φαίνονται ακατόρθωτα. Για παράδειγμα, το άπειρο δεν ισούται πάντα με το άπειρο , και οι χελώνες μπορεί να ξεπεράσουν τους ανθρώπινους αθλητές —τουλάχιστον από μια συγκεκριμένη μαθηματική άποψη.
Υπάρχουν επίσης πολλά σενάρια που φαίνονται αντιφατικά με την πρώτη ματιά (ή δεύτερη ή τρίτη). Αυτά τα παράδοξα μπορούν ωστόσο να εξηγηθούν. Δεν είναι λάθη, αλλά μάλλον υπενθυμίσεις ότι δεν πρέπει να βασιζόμαστε πολύ στη διαίσθησή μας στα μαθηματικά. Εδώ είναι τρία από τα πιο περίεργα παράδοξα στον χώρο.
Hilbert’s Hotel
Φανταστείτε ότι ταξιδεύετε σε μια πόλη και έχετε ξεχάσει να κλείσετε ένα δωμάτιο εκ των προτέρων. Ευτυχώς, συναντάτε ένα όμορφο ξενοδοχείο που φέρει το όνομα του διάσημου μαθηματικού David Hilbert, του οποίου το έργο εκτιμάτε πολύ. Ανεβείτε στη ρεσεψιόν και βλέπετε ότι το ξενοδοχείο διαθέτει άπειρα δωμάτια: οι αριθμοί των δωματίων αντιστοιχούν στους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, 4, … χωρίς να τελειώνουν ποτέ.
Ωστόσο, ο ρεσεψιονίστ σας λέει ότι το ξενοδοχείο έχει κλείσει πλήρως. Αλλά ξέρετε τον τρόπο με τον οποίο περνάτε τα μαθηματικά, οπότε δεν αφήνετε τον εαυτό σας να παρασυρθεί τόσο εύκολα. Γνωρίζετε ένα κόλπο που θα επιτρέψει σε εσάς—και σε όλους τους άλλους ατελείωτους καλεσμένους—να βρείτε επίσης ένα δωμάτιο. Προτείνετε στον ρεσεψιονίστ να μετακομίσει κάθε επισκέπτης στο δωμάτιο με έναν αριθμό υψηλότερο από το τρέχον κατάλυμά του. Έτσι, το άτομο από το δωμάτιο 1 πηγαίνει στο δωμάτιο 2, το άτομο από το δωμάτιο 2 στο δωμάτιο 3, και ούτω καθεξής.
Επειδή το ξενοδοχείο Hilbert διαθέτει απεριόριστο αριθμό δωματίων, ακόμα και όταν έχει γίνει πλήρης κράτηση, υπάρχει χώρος για περισσότερους επισκέπτες. Και αυτό δεν ισχύει μόνο για ένα άτομο: θα μπορούσαν να είχαν φέρει ένα ολόκληρο λεωφορείο με ανθρώπους που ήθελαν επίσης ένα δωμάτιο. Σε αυτήν την περίπτωση, οι επισκέπτες του ξενοδοχείου θα πρέπει να απομακρύνουν όχι μόνο έναν αλλά πολλούς αριθμούς δωματίων.
Γίνεται ακόμα πιο περίεργο. Ακόμα κι αν φέρετε άπειρο αριθμό ατόμων στο ξενοδοχείο του Hilbert, μπορείτε να τα φιλοξενήσετε στο πλήρως κρατημένο ξενοδοχείο. Για να γίνει αυτό, ο επισκέπτης στο δωμάτιο 1 θα πρέπει να μετακομίσει στο δωμάτιο 2, ο επισκέπτης στο δωμάτιο 2 στο δωμάτιο 4, ο επισκέπτης στο δωμάτιο 3 στο δωμάτιο 6 και ούτω καθεξής. Καθώς κάθε άτομο μετακομίζει σε ένα δωμάτιο με αριθμό διπλάσιο του τρέχοντος αριθμού δωματίου του, γίνεται διαθέσιμος ένας άπειρος αριθμός περιττών δωματίων.
Οι ακολουθίες αριθμών δείχνουν πώς σε έναν άπειρο αριθμό ατόμων θα μπορούσε να εκχωρηθεί ένα δωμάτιο σε ένα ξενοδοχείο με άπειρο αριθμό δωματίων.
Μετακινώντας κάθε επισκέπτη σε ένα δωμάτιο με αριθμό διπλάσιο του τρέχοντος, υπάρχει χώρος για άπειρο αριθμό επιπλέον ατόμων.Jan Beránek/Wikimedia ( CC BY-SA 4.0 ), ανανεωμένο από την Amanda Montañez
Ο Γερμανός μαθηματικός David Hilbert παρουσίασε αυτό το υποτιθέμενο παράδοξο κατά τη διάρκεια μιας διάλεξης του 1925 για το άπειρο. Το παράδειγμα δείχνει πώς δεν μπορούν να μεταφερθούν όλες οι έννοιες από πεπερασμένες σε άπειρες περιπτώσεις: οι δηλώσεις «κάθε δωμάτιο είναι κατειλημμένο» και «το ξενοδοχείο δεν μπορεί να δεχθεί άλλους επισκέπτες» είναι συνώνυμες στον πραγματικό κόσμο — αλλά όχι σε έναν κόσμο με άπειρα.
Το παράδοξο των γενεθλίων
Το επόμενο παράδοξο είναι πιο οικείο σε πολλούς. Όταν ήμουν στο σχολείο, δεν ήταν λίγες οι φορές που αρκετοί συμμαθητές μου είχαν τα γενέθλιά τους την ίδια μέρα. Μάλιστα, μοιράστηκα και γενέθλια με έναν συμμαθητή μου. Στην αρχή, αυτό φαίνεται σαν μια τεράστια σύμπτωση. Εξάλλου, ένα έτος έχει 365 ημέρες (ή 366 σε δίσεκτα έτη, αλλά θα το αγνοήσουμε για λόγους απλότητας) και μια σχολική τάξη αποτελείται από περίπου 20 έως 30 μαθητές. Επομένως, η αίσθηση του εντέρου μας λέει ότι είναι απίθανο να γεννηθούν δύο παιδιά την ίδια μέρα.
Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια. Στην πραγματικότητα, η πιθανότητα δύο άτομα σε μια ομάδα 23 να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα είναι μεγαλύτερη από 50 τοις εκατό. Για να το κατανοήσουμε καλύτερα αυτό, βοηθάει να μην εξετάσουμε τον αριθμό των ατόμων αλλά τον αριθμό των ζευγών ατόμων. Από 23 άτομα, (23 x 22) / 2 = 253 ζεύγη μπορούν να σχηματιστούν—και αυτός ο αριθμός υπερβαίνει τις μισές ημέρες του έτους. Ωστόσο, αν δούμε την πιθανότητα ένας από τους μαθητές μιας σχολικής τάξης 23 ετών να γεννήθηκε σε μια συγκεκριμένη ημερομηνία, η πιθανότητα είναι μόνο 1- ((365-1) /365)^23=6,1 τοις εκατό.
Επομένως, το παράδοξο των γενεθλίων προκύπτει από το γεγονός ότι κοιτάζοντας ζευγάρια μαθητών σας δίνει περισσότερες πιθανότητες από ό,τι αν κοιτάξετε μόνο μεμονωμένα άτομα.
Αυτό το γεγονός έχει απτά αποτελέσματα στην κρυπτογραφία, για παράδειγμα. Εάν θέλετε να υπογράψετε μια ψηφιακή σύμβαση, για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται “συναρτήσεις κατακερματισμού”: Το έγγραφο μετατρέπεται σε μια συμβολοσειρά χαρακτήρων (ένα “κατακερματισμό”) σταθερού μήκους όταν υπογράφεται. Αν γίνει και η παραμικρή αλλαγή στο αρχικό έγγραφο, ο κατακερματισμός που σχηματίζεται από αυτό είναι εντελώς διαφορετικός. Διατηρώντας τον κατακερματισμό τους, ο υπογράφοντος μπορεί να αποδείξει αυτό που υπέγραψε αρχικά—καθιστώντας τη διαδικασία αδιάψευστη. Ωστόσο, υπάρχει μια εξαιρετικά μικρή πιθανότητα δύο εντελώς διαφορετικά έγγραφα να δημιουργήσουν ένα και το ίδιο κατακερματισμό, και αυτό ενέχει κίνδυνο ασφάλειας.
Κατά κανόνα, το μήκος της συνάρτησης κατακερματισμού επιλέγεται έτσι ώστε τέτοιες «συγκρούσεις» (όπου δύο διαφορετικές εγγραφές δεδομένων παράγουν τον ίδιο κατακερματισμό) είναι εξαιρετικά σπάνιες. Ένας χάκερ μπορεί να πραγματοποιήσει μια «επίθεση γενεθλίων», ωστόσο: μπορεί να δημιουργήσει πολλά διαφορετικά έγγραφα και να συγκρίνει τις συναρτήσεις κατακερματισμού τους σε ζεύγη – ακριβώς όπως ένας δάσκαλος συγκρίνει τα γενέθλια των συμμαθητών αντί να εστιάζει σε μια συγκεκριμένη ημερομηνία και σε έναν μόνο μαθητή.
Στην πράξη, μια επίθεση γενεθλίων θα μπορούσε να μοιάζει με αυτό: Πρώτα δημιουργώ δύο συμβόλαια, το V1 και το V2. Το V1 είναι ένα δίκαιο συμβόλαιο, αλλά το V2 έχει διατύπωση που είναι υπέρ μου. Στη συνέχεια αλλάζω και τα δύο συμβόλαια σε διάφορα σημεία: προσθέτω κενά, καρτέλες και αλλαγές γραμμής για να δημιουργήσω παραλλαγές των V1 και V2. Αυτές οι αλλαγές είναι σχεδόν αόρατες σε έναν αναγνώστη, αλλά αλλάζουν δραστικά τη λειτουργία κατακερματισμού των εγγράφων.
Αν συγκρίνω τις επιμέρους συναρτήσεις κατακερματισμού των τροποποιημένων συμβολαίων V1 και V2 σε ζεύγη, θα βρω έναν αντίστοιχο κατακερματισμό πολύ πιο γρήγορα από ό,τι αν προσπαθήσω συγκεκριμένα να αναπαράγω ένα συγκεκριμένο κατακερματισμό (όπως αυτό του V1). Αν βρω ένα ταιριαστό ζευγάρι V′1 και V′2, μπορώ να σας δώσω το συμβόλαιο V′1 για να υπογράψετε, αλλά στη συνέχεια να ισχυριστώ ότι υπογράψατε το V′2. Επειδή και τα δύο δημιουργούν τον ίδιο κατακερματισμό, η απάτη δεν μπορεί να εντοπιστεί από λογισμικό ψηφιακής υπογραφής.
Αντινομία του Ράσελ
Ο Βρετανός φιλόσοφος Μπέρτραντ Ράσελ διατύπωσε ένα παράδοξο το 1901 που ονομάζεται μερικές φορές αντινομία του Ράσελ — ένας όρος για μια δήλωση που περιγράφει δύο φαινομενικά αντιφατικές ιδέες. Σε αντίθεση με το ξενοδοχείο του Χίλμπερτ και το παράδοξο των γενεθλίων, η αντινομία του Ράσελ δεν είναι ένα αποτέλεσμα που απλώς ξεφεύγει από τη διαίσθησή μας. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τους κανόνες της λογικής. Η αντινομία παράγει δηλώσεις που δεν μπορούν να είναι ούτε ψευδείς ούτε αληθείς.
Υπάρχουν πολλά παραδείγματα που μπορούν να επεξηγήσουν την αντινομία του Ράσελ, αλλά μια διάσημη περίπτωση είναι το «παράδοξο του κουρέα». Ας υποθέσουμε ότι ένας κουρέας ξυρίζει όλους τους άντρες στην πόλη που δεν ξυρίζονται μόνοι τους—και μόνο αυτούς τους άνδρες. Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του; Αν ξυριστεί μόνος του, τότε δεν ανήκει πλέον στην ομάδα των ανθρώπων που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Αλλά αν δεν ξυριστεί μόνος του, τότε, εξ ορισμού, θα έπρεπε να ξυριστεί μόνος του (γιατί όλοι οι κάτοικοι που δεν ξυρίζονται μόνοι του πηγαίνουν σε αυτόν).
Αυτό το πρόβλημα προκύπτει λόγω κακώς καθορισμένων συνόλων. Την εποχή που ο Russell παρουσίασε την αντινομία του, ένα σύνολο αναφερόταν γενικά σε μια συλλογή πραγμάτων: Οι φυσικοί αριθμοί, για παράδειγμα, σχηματίζουν ένα σύνολο, όπως και το σύνολο όλων των κατοίκων που δεν ξυρίζονται. Αυτό επιτρέπει επίσης στα σύνολα να περιέχονται ή να αναφέρονται στον εαυτό τους ως σύνολο—και αυτές οι ιδιότητες οδηγούν σε αντιφάσεις. Αυτή η αντινομία οδήγησε επομένως στο τέλος αυτού που οι μαθηματικοί αποκαλούν «αφελή θεωρία συνόλων».
Η βάση των μαθηματικών συνεχίζει να βασίζεται στη θεωρία συνόλων. Αλλά τα σύνολα σε αυτήν την κατασκευή δεν είναι πλέον απλές συλλογές και αντ’ αυτού πρέπει να πληρούν ορισμένες προϋποθέσεις. Για παράδειγμα, τα σύνολα πρέπει να αποτελούνται από ήδη υπάρχοντα σύνολα και δεν πρέπει να αναφέρονται στον εαυτό τους. Αυτό αποκλείει αντινομίες όπως το παράδοξο του κουρέα.
Για να το θέσουμε αυτό με μαθηματική σημειογραφία: οι άνθρωποι στην πόλη που μπορούν να αφήσουν γένια και είναι άνδρες σχηματίζουν ένα σύνολο M . Αυτό το σετ περιλαμβάνει τους άνδρες που ξυρίζονται μόνοι τους και αυτούς που δεν ξυρίζονται. Στη συνέχεια, το σετ Γ περιλαμβάνει όλους τους πελάτες του κουρέα. Για να σχηματίσετε το C , πρέπει να ακολουθήσετε τους κανόνες της σύγχρονης θεωρίας συνόλων: Εάν ο κουρέας είναι άνδρας με γένια ή μέρος του M , τότε το σύνολο των πελατών δεν μπορεί να οριστεί ως « όλοι οι άνδρες κάτοικοι που δεν ξυρίζονται μόνοι τους»— γιατί σε αυτή την περίπτωση ο ορισμός θα αναφερόταν στον εαυτό του τόσο με τον κουρέα όσο και με τους πελάτες ως μέρος του M . Η θεωρία συνόλων απλά δεν επιτρέπει έναν τέτοιο ορισμό. Αλλά αν ο κουρέας δεν είναι μέρος του Μ —για παράδειγμα, εάν ο κουρέας είναι γυναίκα ή δεν μπορεί να αφήσει γένια—τότε ο ορισμός επιτρέπεται.
Μπορούμε τώρα να αναπνεύσουμε με ανακούφιση: τα παράδοξα έχουν λυθεί και τα μαθηματικά δεν είναι καταδικασμένα σε αποτυχία. Ωστόσο, δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι οι μαθηματικοί κανόνες δεν θα δημιουργήσουν κάποια στιγμή μια άλυτη αντίφαση. Ο λογικός Kurt Gödel το απέδειξε αυτό στη δεκαετία του 1930 —και κάνοντας αυτό κατέστησε σαφές ότι δεν υπάρχει καμία βεβαιότητα ότι τα μαθηματικά θα λειτουργούν για πάντα με αυτοτελή τρόπο. Το καλύτερο που μπορούμε να κάνουμε είναι να ελπίζουμε ότι δεν θα προκύψει ποτέ μια άλυτη αντίφαση.
Απάντηση